高等代数第三版（什么是高等代数吗）

本文目录

• 什么是高等代数吗
• 线性变换不满足交换律么为什么
• 多久能够系统学完高等代数，数学分析，常微分方程，解析几何和概率论与数理统计
• 线性代数与高等代数的区别是什么
• 求天津大学高等代数 数学分析是哪出版的谁编的
• 高等代数北大第三版和第四版区别大吗
• 学科数学复试高等代数买哪版
• 求丘维声高等代数第三版(高等教育出版社)的详细答案
• 高等代数北大第三版，欧式空间实对称阵的标准型问题
• 高等代数学 答案

什么是高等代数吗

解方程是《初等代数》的主要内容，代数方程根据 未知数的个数 和 次数 分为两个方向：

• 多元一次方程组
• 一元多次方程

《高等代数》就是对这两个方向，继续深入研究，发展出来的。

☆ 对于 多元一次方程组 的研究 产生了 线性代数，分如下阶段：

• 阶段1：从 解方程 到 向量空间。

多元一次方程组 也称为 线性方程组，形式如下：

数学家从中，总结出，m维向量的概念：

接着又 把所有m维向量 放在一起 得到 m维向量空间，记为 ℝᵐ，并进一步研究出多种关于向量空间的知识：线性表示、线性无关、秩、向量的加法、数乘，等，以及 点乘（内积）:

然后，又由多个向量拼接出了 矩阵：

并总结出 矩阵的 转置， 加减法，等，以及乘法：

这样 线性方程组 就可以表示为 矩阵相乘的形式：

再对其求解过程进行分析，发现了 行列式：

以及，著名的 克莱姆法则。

行列式 还有助于 求解 矩阵的 逆阵！

• 阶段2：从 向量空间 到 线性空间：

数学家从 向量空间 中 总结出了 八个条件，凡是 满足 这八个条件的 空间 将和 向量空间 的性质 一致， 称其为 线性空间。

根据 研究向量空间的性质，可知：线性空间 V 中的 极大线性无关元素组 {ε₁, ε₂ , ⋯ , ε_m} （被称为 向量空间的一组基），可以用来线性表示 线性空间中的任意元素 α = a₁ ε₁ + a ₂ε₂ + ⋯ + a_mε_m，其线性表示的系数构成一个 向量 a = (a₁, a₂, ⋯, a_m)，也就是说 取定 一组基 {ε₁, ε₂ , ⋯ , ε_m}，则 线性空间 V 中 的 每一个元素 α 和 一个向量 a 一一对应，于是 我们 依然称 线性空间的元素 α 为 向量，而将 其对应向量 a 的维度 m（也就是 基的个数）定义为 线性空间 V 的维度。

线性空间的出现，标志着数学抽象化进程的开端。

接着，数学家对 线性空间 之间的 能保持 向量的加法和数乘的 线性映射 进行了深入研究，其中的最重要发现是：

一旦线性空间 的基取定，则 线性映射 和 矩阵 一一对应，线性映射的复合就是 对应矩阵 的乘法。

与之类似，数学家还研究了， r 个 线性空间 到 实数域 ℝ 的 能保持 向量的加法和数乘的 r重线性函数，从而有了：二重对称线性函数——二次型 的知识，并且 还发现： n阶 行列式 就是 n 维线性空间 上的 使得 det(E) = 1 的 唯一 n重反对称线性函数 det。

• 阶段3：从 线性空间 到 内积空间：

将，向量的点乘运算，引入 线性空间，就称为 内积空间，在 内积空间 内 可以进一步定义：正交、共轭 等概念。

从 内积 分别导出 距离 和 范数，使得 内积空间 变为 距离空间 和 赋范线性空间，以及具有了 完备性问题。

将 内积定义 扩展到 复数域 之上，得到 酉空间。

• 阶段4： 从 线性代数 到 四面开花：

第一朵花，继续研究 线性映射 和 矩阵，发展出了 《矩阵分析》；第二朵花，继续研究 线性函数，发现了： 对偶空间、张量、外代数，这些内容称为 多重线性代数，并被用于 《黎曼几何》；第三朵花， 继续研究 内积空间 就有了： Banach 空间 和 Hilbert 空间，从而发展出 《泛函分析》；第四朵花， 借助 向量空间 来研究 几何空间：仿射空间 和 射影空间，这之后发展出 《代数几何》。

☆ 对于 一元多次方程 的研究 产生了 抽象代数：

一元多次方程，也称为 一元多项式方程， 形式如下：

早在 阿拉伯数学昌盛的 时代，古代数学家 就 推导出了 一元二次 方程 ax² + bx + c = 0 的 求解公式：

文艺复兴后，欧洲数学家 先后 发现了 一元三次方程 和 一元四次方程 的 求解公式，可是 直到 18世纪 数学家还是 没有找到 一元五次方程的 求解公式。

Abel 是第一个证明： 一元五次方程 是没有 根式解的，之后 Galois 进一步 证明了 一元方程 在什么情况下有 根式解：

域 F 上 一元n次方程 f(x) 有根式解 当且仅当 Galois 群 Gғ(f) 是一个可解群。

为此，Galois 先后建立的 《群论》《环论》《Galois 理论》， 这组成了《抽象代数》，从此 数学 真正进入了 抽象时代。

《高等代数》，含有 群、环、域， 的 初步 知识，以及 一元多项式环 和 多元多项式环，这些都是 为 之后的 《抽象》 学习做准备。在《抽代》中，线性空间 是 模 的 特例，即，域上的模，所以前面线性代数部分，同样是 《抽代》 的基础。

总结：

《高等代数》和《高等数学》（《数学分析》）一样 是 进入专业数学领域 的入门课程，主要包括：线性代数 和 抽象代数初步 两部分内容，同学们将从中领会到 数学抽象的魅力！

（以上是小石头个人对《高等代数》的理解，由于数学水平有限，观点难免偏薄，仅供各位参考！）

线性变换不满足交换律么为什么

线性变换满足结合律，但不满足交换律，这是有关线性变换运算的两条最基本的结论。下面来详细阐述一下这一问题，需要分成以下几个方面。

1.什么是变换？

线性变换(linear transformation)是线性代数(linear algebra)的基本概念，它是一类满足某些特殊性质的变换(transformation)。那么什么是变换呢？

变换从本质上讲就是函数的意思。函数是一个我们非常熟悉的概念了，它的意思就是把一个集合中元素对应到另外一个集合中元素的对应法则。

不过，我们在高中学习的函数一般都是从数集到数集的对应。把这个概念再放宽一些，变成从向量集合到向量集合的对应，那这时就把这个函数特意地称为“变换”。

在线性代数里面，由所有n维向量组成一个集合，这些向量之间可以进行加减法运算和数乘运算。把可以进行这两种运算的集合通常成为一个线性空间(linear space)，它其中的一组基(basis)所包含的向量的个数，称为线性空间的维度(dimension)。可以看出，所有n维向量组成的集合就是一个n维线性空间，通常记为R^n。所以总结为一句话：变换的本质，就是从一个线性空间到另一个线性空间的函数。

2.什么是线性变换？

任何一个从线性空间到线性空间的对应法则，都可以称为一个变换。那这样的变换太多了，杂乱无章，研究起来没有什么意义，我们从里面挑出一些满足一定性质的、有意义的变换，于是就有了线性变换这个概念。

线性变换(linear transformation)指的是满足下列性质的变换：

这两条性质其实也被称为运算的线性性，线性变换这个名字也因此而来。

线性其实是广泛存在于自然界中与我们日常生活当中的一种现象，它描述的是一种不同数量可以“简单叠加”的性质。举个例子，买同一种商品所花的钱就是一个关于商品数量的线性函数，比如我买3+4个，即7个面包所花的钱，就等于买3个面包的钱，加上买4个面包的钱。

线性变换中最常见的一类就是所谓的矩阵变换(事实上，下文我们将会看到，线性变换的本质就是矩阵变换)。矩阵变换(matrix transformation)指的是这样一种把向量变成向量的对应法则：先给定一个矩阵m×n阶矩阵A，然后对于一个n维向量x，给它左边乘上A，变成Ax，根据乘法行与列的运算法则，这样得到的就是个m维向量。所以它把一个n维向量变成一个m维向量，这样的变换我们称为由矩阵A诱导出的线性变换，简称为矩阵变换。这种变换一定是线性的，因为很容易验证，对于任何矩阵A，都有：

矩阵变换在电脑做图中非常有用，在电脑中对一张图片进行拉伸，旋转，翻转等操作，本质就是矩阵变换。因为一张图片是由很多像素点组成的，每一个像素可以看成是一个2维向量。对图片进行操作，就相当于把每个向量都变换一下。比如我想把一张图片等比例拉伸三倍，就相当于把每一个向量都拉伸三倍，方法就是让每一个向量都乘以一个3倍单位矩阵：

于是就会产生以下的效果：

3.几种基础的矩阵变换

除了上面讲的拉伸变换，其他常见的矩阵变换还有如下几种

• 翻转变换

前面分别乘以如下两个矩阵：

实现的效果就是把图片关于x轴翻转，以及关于y轴翻转：

• 旋转变换

想把一个图形逆时针方向旋转角度φ，可以在前面乘上如下矩阵：

于是就可以得到如下效果

• 剪切变换

剪切变换就是把一张图片斜着拉伸，比如下面这个效果

实现方法就是前面乘以如下的矩阵：

当然还可以对图像进行多次变换，那就是不停地在前边乘以矩阵，于是就是下面这个效果

上面的图片就是在矩阵研究中做出巨大贡献的德国数学家雅可比(Jacobi，1804-1851)

4.线性变换的矩阵

前面我们已经介绍到，给我一个矩阵就可以导出一个矩阵变换而，每一个矩阵变换都是一个线性变换。那么反过来，给我一个线性变换，它跟矩阵有没有关系呢？下面来探讨一下这个问题。

首先面临的第一个问题就是，一个线性变换是把线性空间中的每一个向量都对应到另一个线性空间中的向量。但是一个线性空间里边包含无数多个向量，你需要知道每一个向量对应过去是啥才算是知道了这个线性变换的全部信息。那无数多个向量我怎么可能列的完呢？好在线性空间不是孤立的集合，它的元素与元素之间有运算关系，所以整个空间就具有某种结构，我们在线性代数里面学过一个线性空间，都至少有一组基。这一组基是由若干个向量组成的，它们之间线性无关，并且使得线性空间中的每一个向量都可以被这一组基中的向量所线性表示。

又根据线性变换本身具有线性性，所以我们只需要知道这个线性变换把这组基中的每个向量变成啥，就相当于知道了这个线性变换的全部信息。利用这一点，我们只需要研究所有基的象即可。

下面我们只讨论R^n到R^n，即自身到自身的线性变换T。即每一个向量变过去之后，仍然还是本集合的向量。n维线性空间一组基中有n个向量，我们把它们记为：

只需要研究线性变换把上面这n个向量变成啥就可以了，而每一个向量变过去之后的向量还属于该集合，因此它也能被这一组基所表示。我们不妨假设

我们把前面的系数提取出来，按列组成一个n×n阶的矩阵：

这个矩阵就称为线性变换T在这一组基下所诱导出的矩阵。

于是可以看出，给我一个矩阵就可以导出一个线性变换；反过来，给我一个线性变换就可以导出一个矩阵。因此，线性变换和矩阵就是一一对应的，所以我们得出一个自然的结论，就用一个矩阵来代表一个线性变换。于是就可以把线性变换的关系转化为矩阵的关系。

5.线性变换的运算与矩阵的运算

我们知道，矩阵可以进行运算，比如加减法，数乘，以及最复杂的矩阵乘法。那么，不同的线性运算之间可以做运算么？如果可以的话，线性表换的运算和矩阵的运算有什么关系呢？本节就来讨论这个问题。

我们知道，线性变换的本质就是函数，而我们讲函数时学过它的五种运算：加减乘除，以及复合。所以线性变换也可以进行这五种运算，其中与本文有关系的是最后一种——复合运算(composite)：

可以看出来，它也是R^n到R^n的线性变换。两个线性变换的复合变换仍然是线性变换，可以如下简单的证明：

先看第一条：

再看第二条：

所以两个线性变换的复合变换仍然是线性变换，那么根据上文，它就对应一个矩阵。

那这个矩阵与前两个线性变换的矩阵有什么关系呢，我们有如下结论

这个结论的证明比较简单，我们暂时略去。但是这个结论所具有的意义却是非常重要的，它表明，线性变换的复合运算就完全等同于矩阵的乘法运算。

这个结论的重要意义就在于，我们要想研究线性变换之间的关系，那么直接转化成研究矩阵之间的关系就可以了。而矩阵之间的运算我们是研究得很清楚的。

6.结论

我们知道矩阵的乘法满足结合律，即对任意的三个矩阵A，B，C，(假设乘法可以进行)，一定满足

因此线性变换的复合运算也是满足结合律的。

但是矩阵的运算是不满足交换律的，我们可以随便举一个例子来，比如给出下面两个矩阵：

可以计算一下：

很明显二者是不相等的。只要举出一个例子来，就可以说明矩阵的乘法不满足交换律的，因此对应过来，线性变换的复合运算也不满足交换律。

我们举一个具体的例子好了，就拿上面的两个矩阵导出的线性变换：

我们就让它们复合，然后作用在单位向量〈0，1〉上，比较一下两个结果：

明显是不一样的。只要有一个向量作用过去不一样，那这就是两个不同的线性变换，这就说明了两个线性变换的复合运算是不满足交换律的。

6.结束语

本文我们使用了一种在数学里边非常常用的手法，当我们面对一种难以处理的数学对象时，可以把它转化成另外一种数学对象，并且这两种数学对象之间具有相同的结构。于是我们只需要把新的数学对象的性质研究清楚了，就可以返回去得到旧的数学对象的性质，这就是“同构”(isomorphism)的思想。在本文中我们就建立起了所有线性变换与所有矩阵之间的同构，于是通过研究矩阵的性质得到线性变换的性质。

“同构”(isomorphism)，是数学中的核心概念之一，它研究的就是两种不同的结合所具有的相同的性质，通常指的是相同的运算性质。因此但凡含有运算的集合，都有同构这个概念，比如线性空间的同构，群的同构，环的同构等等。同构的集合，我们在研究性质时可以看成相同的结合，因此这一概念就在不同的数学对象之间寻找到了某种统一性，用它就可以来解决很多复杂的数学问题。

多久能够系统学完高等代数，数学分析，常微分方程，解析几何和概率论与数理统计

《高等代数》、《数学分析》、《常微分方程》、《解析几何》和《概率论与数理统计》这5门课程是数学专业的学生开设的必修课，下面回答都基于题主是数学专业学生。

我的观点：在大学阶段学完这些课程大概需要两年时间。

这些科目之间的知识体系有较强的内部联系，学习有先后顺序，那么怎么来学习这些课程呢？漫谈君来具体聊一下。

先学《数学分析》和《高等代数》

数学分析和高等代数是数学类各专业最重要的基础课，是所有数学类课程的先修课程，常微分方程、解析几何和概率论与数理统计都要用到这两门基础课里的知识。

1、数学分析

数学分析主要包括极限理论、微分学、积分学及级数理论，是常微分方程、偏微分方程、概率论与数理统计、复变函数、实变函数、微分几何等课程的学习基础。一般需要3-4个学期，在新生入学后开始学习，大二上学期或者下学期学完。数学分析能训练学生的数学思维能力，对今后的学习和研究起着关键的作用。

推荐教材：华东师范大学数学系（第四版）；高教社刘玉莲版本《数学分析讲义》（第五版）

如果有时间和精力可以可以学习吉米多维奇的数学分析习题集，这套练习册很经典，题量也很大，我当时上学的时候看的版本共6册，基本可以当题库看了，不过我当时没有坚持看完，有点遗憾。

2、高等代数

高等代数是另一门最重要的专业基础课程，主要内容包括矩阵、行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型、带度量的线性空间、Jordan标准形、多项式环、整数环等内容，一般开设两个学期，大一两个学期学完。

高等代数这门课主要研究抽象的代数结构的性质，重在培养学生从具体对象抽象出具有普遍性的概念、通过抽象思维和推理解决实际问题的初步能力。

推荐教材：《高等代数》北京大学（第四版）、《高等代数》张禾瑞（第五版）

习题集推荐：杨子胥《高等代数习题解》

杨子胥的高等代数习题解非常经典，考研的话这一套资料就够了，我考研的时候复习了两遍，基本上不会碰到不会的题。

其他课程

1、解析几何

解析几何包括平面解析几何和空间解析几何两部分，主要学习向量代数、空间解析几何、二次曲线的分类、等距变换和仿射变换、射影几何初步等内容。高等代数II中的一些内容需要解析几何的知识。因此解析几何一般在第1学期开设，学习时长为一个学期。

解析几何可以培养学生的几何直观能力和应用代数工具来研究、解决几何问题的能力。为高等代数和多元微积分提供相关的几何背景知识；同时也为进一步学习代数（群论，代数几何）与几何打下基础。

推荐教材：（1）尤承业，解析几何，北京大学出版社；（2）丘维声，解析几何，北京大学出版社。

2、常微分方程

常微分方程先修课程：数学分析、高等代数、解析几何。

常微分方程是数学专业的重要基础课，这门课应用性很强。主要内容包括：一阶微分方程的初等解法及存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程等内容，一般在第3学期开设。

常微分方程课程的学习在理论和实践中都有非常重要的意。理论层面上，它为后行课（数理方程、微分几何、泛函分析等）提供理论基础；另外常微分方程还有广泛的应用价值，如人口模型、传染病模型、牛顿冷却定律等需要应用常微分方程的知识。

推荐教材：王高雄等，常微分方程（第三版），高等教育出版社。

3、概率论与数理统计

概率论与数理统计的先修课程是：数学分析和高等代数

《概率论与数理统计》这门课分为概率论和数理统计两部分内容，其中概率论部分主要是对研究随机现象的统计性规律，主要包括：随机事件、随机变量及其分布（一维和多维）、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理；数理统计以概率论为基础的，主要研究对随机样本进行科学分析与处理的方法，如何研究变量之间的关系以及如何进行统计决策等内容。数理统计的主要包括：统计量及其抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。

这门课不同的学校对课程要求不同，一般在第4学期和第5学期开设，学习时长1个学期或2两个学期。

推荐教材：梁之舜等（中山大学数学系），概率论与数理统计（第三版），高等教育出版社。

结语

这几门课都是数学专业的重要基础课程，难度比较大也比较抽象，在学习中要按照课程之间的先后顺序依次学习，按部就班、循序渐进，掌握课程的精髓的思想。每个人学习能力和精力不同，想要系统的学习这几门课程大概需要两年的时间。

线性代数与高等代数的区别是什么

线性代数和高等代数包含的内容不同，难度不同。简单说《线性代数》是《高等代数》中的一部分，内容比高等代数简单，是理工类非数学专业学生的必修科目，而《高等代数》通常是数学专业的学生的专业基础课，现在一些和数学相关很强的专业也学习《高等代数》，比如信息类及统计类专业。

高等代数及线性代数

高等代数是相对于初等代数而言的，初等代数包括初高中阶段学过的一元一次方程、二元及三元的一次方程组，二次及能化成二次上的方程和方程组。初等代数沿着这两个方向继续发展，代数讨论任意多个未知数的一次方程组，即线性方程组，同时还研究次数更高的一元方程，代数发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支：线性代数、多项式代数、二次型等内容。具体包括：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间、线性变换、多项式、特征值和特征向量、相似矩阵、二次型、欧氏空间等内容。

线性代数是高等代数的一大分支，主要讨论线性方程及线性运算的内容，核心内容为行列式、矩阵和线性方程组，还包括相似矩阵和二次型等内容。

课程特点及教材

由于线性代数比较简单，这里简单分析一下高等代数的特点。高等代数这门课比起数学分析（数学专业）和高等数学（非数学专业）难度要小很多，这门课虽然也比较抽象，刚开始接触可能觉得有点枯燥，但是只要学习入门，难度并不大。

《高等代数》教材目前用的比较多的是北京大学的《高等代数》和张禾瑞版的《高等代数》

《线性代数》教材不同的学校教材选择也不同，目前用的比较广的有同济大学版的和清华大学版的教材：

结语

线性代数是高等代数的一部分，是高等代数中线性方程组相关的部分内容，主要包括行列式、矩阵和线性方程组、相似矩阵和二次型等内容，高等代数还包括多多项式和欧氏空间等内容，而且难度也比线性代数难。因此，通常情况下数学专业的学生学习的是《高等代数》，而非数学专业的理工类学生学习《线性代数》。也有一些版本的线性代数课本叫《线性代数与解析几何》，把解析几何中向量及其相关运算等内容包括在内。

求天津大学高等代数 数学分析是哪出版的谁编的

1、天津大学《高等代数（第三版）》 王萼芳主编 高等教育出版社作 者： 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编 王萼芳、石生明 修订 出版社： 高等教育出版社 ISBN： 7040119153 价 格： 原价：24.4元 优惠价：21.5元　88折书 名 出版时间： 2003-7第3版 1978-3第1版 印刷时间： 2010-3第20次印刷出版社 开 本： 32 2、天津大学《数学分析》 陈传璋等主编 高等教育出版社书 名： 数学分析（第3版）（上册）——面向21世纪课程教材·普通高等教育“九五”国家教委重点教材 作 者： 华东师范大学数学系 编 出版社： 高等教育出版社 ISBN： 7040091372 价 格： 原价：25.3元 优惠价：22.3元　88折价 格 出版时间： 2001-6第3版 印刷时间： 2010-8第24次印刷ISBN 开 本： 16 3、《数学分析与高等代数》作者：金圣才主编丛 书 名：数学分析与高等代数出版机构：中国石化出版社出版日期：2006.3ISBN：7-80164-987-7中图分类：数理科学和化学 》 数学页 数：476开本信息：32 纸书定价：CNY52.80

高等代数北大第三版和第四版区别大吗

• 据我所知，北大版的高等代数现在只出到第三版，还没有第四版。一般学校都是将第三版作为参考教材，考研买第三版就可以。

• 北大的高等代数版本很多，还是说作者名、版本、出版年份才好回答

• ? 宫锁珠帘 ( 2012)? 新玉观音 ( 2011)? 养父 ( 2011)

学科数学复试高等代数买哪版

用本科的时候教材就可以。高等代数：丘维声《高等代数》高等教育出版社第三版（自行选择答案解析）。解析几何：吕林根《解析几何》高等教育出版社第四版（自行选择答案解析）。此外要自行寻找学硕初试高代真题及专硕复试真题。（嘱咐一句，不要再怀疑为什么别的学姐推荐的陈志杰的高代解析而不是这版书了。这两本是东师本科学习的材料，大多数都是外校生考东师）。

求丘维声高等代数第三版(高等教育出版社)的详细答案

第一题：

答案：

第二题：

答案：

第三题：

答案：

扩展资料

这部分主要考察的是线性空间的知识点：

线性代数的中心内容和基本概念之一。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。

单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

高等代数北大第三版，欧式空间实对称阵的标准型问题

取定欧式空间的一组标准正交基,以实对称阵为矩阵的线性变换就是对称线性变换.只要证明了存在一组标准正交基, 使对称线性变换的矩阵对角化,(当然, 这等价于存在一组特征向量, 构成一组标准正交基),也就证明了实对称阵可以相似对角化.而且, 由于标准正交基之间的过渡矩阵都是正交阵,所以实际上就证明了可以正交相似对角化, 也就是定理7的结论.不知道你具体是哪里不清楚, 有疑问请追问.

高等代数学 答案

我有啊 主要内容 一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:证: 由 取 则当 时,就有 由函数极限 定义有: 2、利用极限的四则运算性质 若 (I) (II) (III)若 B≠0 则： （IV） （c为常数）上述性质对于 例：求 解: = 3、约去零因式（此法适用于 ）例: 求 解:原式= = = = = 4、通分法（适用于 型）例: 求 解: 原式= = = 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足：（I） (II) (M为正整数)则： 例: 求 解: 由 而 故 原式 = 6、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)≠0 则 例: 求下列极限① ② 解: 由 故 由 故 = 7、等价无穷小代换法 设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ， 存在，则 也存在，且有 = 例:求极限 解: = 注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数” 8、利用两个重要的极限。 但我们经常使用的是它们的变形：例：求下列函数极限 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。例：求下列函数的极限 （2） 10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有： m、n、k、l 为正整数。例：求下列函数极限① 、n ② 解: ①令 t= 则当 时 ,于是原式= ②由于 = 令： 则 = = = 11、 利用函数极限的存在性定理 定理: 设在 的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有: 则极限 存在, 且有 例: 求 (a》1,n》0)解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1于是当 n》0 时有: 及 又 当x 时,k 有 及 =0 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限 存在且等于A的充分必要条件是左极限 及右极限 都存在且都等于A。即有：= =A例：设 = 求 及 由 13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。 例： 求下列函数的极限① ② 解：①令f(x)= , g(x)= l , 由于 但 从而运用罗比塔法则两次后得到② 由 故此例属于 型，由罗比塔法则有： 14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、 2、 3、 4、 5、 6、 上述展开式中的符号 都有:例:求 解:利用泰勒公式，当 有于是 = = = 15、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点 ,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若:(I)当 时，有 (II)当 时有:①若 则 ②若 而 则 ③若 , ,则分别考虑若 为 的s重根,即: 也为 的r重根,即: 可得结论如下：例：求下列函数的极限 ① ② 解: ①分子，分母的最高次方相同，故 = ② 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。 例：求 解: 二、多种方法的综合运用上述介绍了求解极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的综合运用的技巧，使得计算大为简化。例:求 :注:此解法利用了罗比塔法则配合使用两个重要极限。