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高考导数，寻求思路和解答，谢谢
第二问；①f’(x)=0，x=√e，单调性应为先增后减，f(x)max=-1，所以可以去掉绝对值，
g(x)=x²/2e+1-lnx-(2lnx+1)/x-b，构造函数φ(x)=x²/2e+1-lnx，m(x)=(2lnx+1)/x+b
φ’(x)=x/e-1/x=0，x=√e，φ(x)先减后增，φ(x)min=φ(√e)=1，
m’(x)=(1-2lnx)/x²=0，x=√e，m(x)先增后减，m(x)max=m(√e)=b+2/√e
若有零点，则m(x)max≥φ(x)min，即b+2/√e≥1，b≥1-2/√e。
②构造函数n(x)=x²/2e+1-lnx-(2lnx+1)/x进行研究，但很快发现其导数n’(x)=x/e-1/x-(1-2lnx)/x²的零点不易求解。如图
固放弃此想法。
但是，对于某些函数来说，则需要此做法，例如
g(x)=a≤f(x)max
希望帮到你！
高中导数题型总结
总结是对过去一定时期的工作、学习或思想情况进行回顾、分析，并做出客观评价的书面材料，通过它可以全面地、系统地了解以往的学习和工作情况，让我们抽出时间写写总结吧。那么你知道总结如何写吗？下面是我帮大家整理的高中导数题型总结，仅供参考，希望能够帮助到大家。 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根; 第二步：画两图或列表; 第三步：由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(》0,=0,《0) 第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， (1)若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围; (2)若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数得 (1)在区间上为“凸函数”， 则在区间上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵当时,恒成立, 当时,恒成立 等价于的最大值()恒成立， 而()是增函数，则 (2)∵当时在区间上都为“凸函数” 则等价于当时恒成立 变更主元法 再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题) 请同学们参看2010第三次周考： 例2：设函数 (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子) 解：(Ⅰ) 令得的单调递增区间为(a,3a) 令得的单调递减区间为(-，a)和(3a，+) ∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b. (Ⅱ)由||≤a，得：对任意的恒成立① 则等价于这个二次函数的对称轴(放缩法) 即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 上是增函数.(9分) ∴ 于是，对任意，不等式①恒成立，等价于 又∴ 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型 例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为， (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)当时，求的值域; (Ⅲ)当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。 解：(Ⅰ)∴，解得 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减 又 ∴的值域是 (Ⅲ)令 思路1：要使恒成立，只需，即分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型 解法2：利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集; 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知，函数. (Ⅰ)如果函数是偶函数，求的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数是上的单调函数，求的取值范围. 解：. (Ⅰ)∵是偶函数，∴.此时，， 令，解得：. 列表如下： (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：的极大值为，的极小值为. (Ⅱ)∵函数是上的单调函数， ∴，在给定区间R上恒成立判别式法 则解得：. 综上，的取值范围是. 例5、已知函数 (I)求的单调区间; (II)若在上单调递增，求a的取值范围。子集思想 (I) 1、 当且仅当时取“=”号，单调递增。 2、 单调增区间： 单调增区间： (II)当则是上述增区间的`子集： 1、时，单调递增符合题意 2、， 综上，a的取值范围是。 三、题型二：根的个数问题 题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”; 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系; 第三步：解不等式(组)即可; 例6、已知函数，，且在区间上为增函数. 求实数的取值范围; 若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围. 解：(1)由题意∵在区间上为增函数， ∴在区间上恒成立(分离变量法) 即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为 (2)设， 令得或由(1)知， ①当时，，在R上递增，显然不合题意… ②当时，，随的变化情况如下表： — 极大值 极小值 由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得 综上，所求的取值范围为 根的个数知道，部分根可求或已知。 例7、已知函数 (1)若是的极值点且的图像过原点，求的极值; (2)若，在(1)的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在，求出实数的取值范围;否则说明理由。 解：(1)∵的图像过原点，则， 又∵是的极值点，则 (2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点， 等价于有含的三个根，即： 整理得： 即：恒有含的三个不等实根 (计算难点来了：)有含的根， 则必可分解为，故用添项配凑法因式分解， 十字相乘法分解： 恒有含的三个不等实根 等价于有两个不等于-1的不等实根。 题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数在点处取得极小值-4，使其导数的的取值范围为，求：(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. (1)由题意得： ∴在上;在上;在上 因此在处取得极小值 ∴①，②，③ 由①②③联立得：，∴ (2)设切点Q， 过 令， 求得：，方程有三个根。 需： 故：;因此所求实数的范围为： 题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法：根分布或判别式法 例8、 解：函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时，f(x)=x3-x2+10x， =x2-7x+10，令，解得或. 令，解得 可知函数f(x)的单调递增区间为和(5，+∞)，单调递减区间为. (Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6, 要使函数y=f(x)在(1，+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1，+∞) 根分布问题： 则，解得m》3 例9、已知函数，(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围. 解：(1) 当时，令解得，令解得， 所以的递增区间为，递减区间为. 当时，同理可得的递增区间为，递减区间为. (2)有且仅有3个极值点 =0有3个根，则或， 方程有两个非零实根，所以 或 而当或时可证函数有且仅有3个极值点 其它例题： 1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是-11. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)若时，恒成立，求实数的取值范围. 解：(Ⅰ) 令=0,得 因为，所以可得下表： 0 + 0 - 极大 因此必为最大值,∴因此，， 即，∴，∴ (Ⅱ)∵，∴等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围， 为此只需，即， 解得，所以所求实数的取值范围是. 2、(根分布与线性规划例子) (1)已知函数 (Ⅰ)若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式; (Ⅱ)当在取得极大值且在取得极小值时,设点所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程. 解：(Ⅰ).由,函数在时有极值, ∴ ∵∴ 又∵在处的切线与直线平行, ∴故 ∴…………………….7分 (Ⅱ)解法一:由及在取得极大值且在取得极小值, ∴即令,则 ∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得,,,,, 同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为: 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分,设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G,则, 由得点F的横坐标为: 由得点G的横坐标为: ∴即 解得:或(舍去)故这时直线方程为: 综上,所求直线方程为:或.…………….………….12分 (Ⅱ)解法二:由及在取得极大值且在取得极小值, ∴即令,则 ∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC, 易得,,,,, 同时DE为△ABC的中位线,∴所求一条直线L的方程为: 另一种情况由于直线BO方程为:,设直线BO与AC交于H, 由得直线L与AC交点为: ∵,, ∴所求直线方程为:或 3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。 (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f(x)的解析式; (Ⅲ)若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知： (Ⅰ)由图可知函数f(x)的图像过点(0,3)，且=0 得 (Ⅱ)依题意=–3且f(2)=5 解得a=1,b=–6 所以f(x)=x3–6x2+9x+3 (Ⅲ)依题意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a》0) =3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a① 若方程f(x)=8a有三个不同的根，当且仅当满足f(5)《8a 由①②得–25a+3《8a《7a+3 所以当 4、(根的个数问题)已知函数 (1)若函数在处取得极值，且，求的值及的单调区间; (2)若，讨论曲线与的交点个数. 解：(1) ………………………………………………………………………2分 令得 令得 ∴的单调递增区间为，，单调递减区间为…………5分 (2)由题得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 当即时 - 此时，，，有一个交点;…………………………9分 当即时， ∴当即时,有一个交点; 当即时，有两个交点; 当时，，有一个交点.………………………13分 综上可知，当或时，有一个交点; 当时，有两个交点.…………………………………14分 5、(简单切线问题)已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数. (Ⅰ)若函数在处有极值，求的解析式; (Ⅱ)若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围.
老师，导数应用中构造函数的方法有哪些
如果做题时遇到 涉及构造函数的证明题问题 可以看下这个视频的方法 非常简单好用 无需记公式 一看就会 傻瓜式得分 、
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高中数学导函数的问题
分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可得到f（x）的单调区间；（2）根据直线y=ax的图象恒在函数f（x）图象的上方，转化为h（x）=ax-f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围；（3）利用函数的单调性和函数零点之间的关系，构造函数利用函数的单调性即可证明结论。
构造函数法在解题中的应用
构造函数法在解题中的应用 摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。 关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用 函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。 函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。 根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。 一、构造函数解决有关不等式的问题 有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。 例1：若 ，则 的大小关系是 。 分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数 进行判断。 解：构造函数 ，易证函数 在其区间 是单调递增函数。 例2(2008年山东理)：已知函数 其中 为常数。当 时，证明：对任意的正整数 ，当 时，有 证法一：因为 ，所以 。 当 为偶数时，令 则 （ ）所以 当 时， 单调递增。又 ，因此 恒成立，所以 成立。当 为奇数时，要证 ，由于 ，所以只需证 ，令 ，则 （ ），所以，当 时， 单调递增，又 ，所以当 时，恒有 ，即 命题成立。 综上所述，结论成立。 证法二：当 时， ，当 时，对任意的正整数 ，恒有 ，故只需证明 。令 则 ，当 时， ，故 在 上单调递增，因此 当 时， ，即 成立。故 当 时，有 ，即 。 试题分析：第二问需要对构造的’新函数 进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断。 评注：函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟，通过对不等式结构特征的分析，来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性。 二、构造函数解决数列中的有关问题 数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系. 例3：在等差数列中，已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) , 求 Sp+q 的值。 略解：因为 是n的一次函数，点( n , ) 共线，所以点 （p , ） , ( q , ) , ( p + q , ) 共线， 则有 化简即得 Sp+q = －( p + q ) 。 例4：等差数列{ }的首项 ,前 项的和为 ,若 ,问 为何值时 最大? 简析:运用数列中的通项公式的特点,把数列问题转化为函数问题解决。 解:依题意,设此函数是以 为自变量的二次函数。 故二次函数 的图象开口向下当 时, 最大,但 中, 当 为偶数时, 时, 最大当 为奇数时, 时, 最大。 三、构造函数解决方程有解、无解及若干个解的问题 方程有解、无解问题可以用“变量分离法”转化为求函数的值域，或直接构造函数。 例5(2010上海文科数学)：若 是方程式 的解，则 属于区间() A. （0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2） 解析： 知 属于区间（1.75，2） 例6（2010天津文科数学）：设函数f(x)=x- ,对任意 恒成立，则实数m的取值范围是________。答案：m《-1 解析：本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
高中数学技巧模型有哪些
高中数学技巧模型有：
元素与集合模型模型、函数性质模型、分式函数模型、抽象函数模型、函数应用模型、等面积变换模型、等体积变换模型、线面平行转化模型、垂直转化模型、法向量与对称模型、阿圆与米勒问题模型、条件结构模型、循环结构模型；
古典概型与几何概型模型、角模型、三角函数模型、向量模型模型、边角互化解三角形模型、化归为等差等比数列解决递推数列的问题模型、构造函数模型解决不等式问题、解析几何中的最值模型。
扩展资料：
针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近似地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。
从广义理解，数学模型包括：数学中的各种概念，各种公式和各种理论。
都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。
导数的题型及解题技巧
1、导数与函数的零点：
难点在于分类讨论，解题的关键是“临界点”的确定，落实逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合的能力。常用的方法有分离参数法（参变分离）和分类讨论法，结合代数变形、整体代换法、函数同构——构造函数、不等式等技巧解决函数的隐零点问题及函数的极值点偏移问题。
2、导数与函数的单调性：
在这一部分要理解函数的单调性与导数符号之间的关系；灵活运用导数求函数的单调性，理解已知函数单调性求参数取值范围的方法。
3、导数与函数的极值、最值：
掌握函数在某点取得极值的充分条件和必要条件；灵活应用导数求函数的极大值、极小值及求在闭区间上函数的最大值、最小值的方法。
4、导数与不等式：
这是难点，学会以基本初等函数或其复合形式为载体的超越函数类型，灵活应用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，注意与不等式之间的联系；掌握定义法、公式法、综合法、放缩法。
5、变化率与导数、导数的计算：
在这一部分，我们需要理解导数的概念及实际背景，清楚导数就是瞬时变化率；理解导数的几何意义，会灵活运用导数求两种类型的切线，注意数形结合；落实8大基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数求导的方法。
